Question

Rozwiąż równanie 1/sinx = 1/sin4x w przedziale <-π;π>


Dla ulatwienia podam, że rozwiązaniem jest x∈{ -3π/5, -π/5, π/5, 3π/5, -2π/3, 2π/3}

Wbrew pozorom to bardzo trudne zadanie wg mnie.

Answer 1

Nie jest takie trudne.. a wiec:
1/sinx = 1/sin4x
jedynym problem jest tu sin4x ale ktoś ciekawski wie że:
sin2x= 2sinx*cosx
sin2(2x)=2sin2x*cos2x (cos2x=cos²x-sin²x=1-2sin²x)
sin4x=2(2sinx*cosx)*(1-2sin²x)
a wiec
1/sinx = 1/sin4x /*sinx
1=sinx/sin4x /*sin4x
sin4x=sinx
2(2sinx*cosx)*(1-2sin²x)=sinx
4(sinx*cosx)*(1-2sin²x)=sinx
4(sinx*cosx-2sin³x*cosx)=sinx
-8sin³x*cosx+sinx*cosx=sinx /:sinx
-8sin²x*cosx+cosx=1
-8(1-cos²x)cosx+cosx=1
(-8+8cos²x)cosx+cosx=1
-8cosx+8cos³x+cosx-1=0
8cos³x-7cosx-1=0
t=cosx gdzie t∈<-1;1>
8t³-7t-1=0
gdy t=1 mamy:
W(1)=8-7-1=0
czyli możemy dzielić bezout W(t) przez t-1 lub szybciej choć nie każdy potrafi stosując hornera my podzielimy bezout:
(8t²+8t+1)(t-1)=0
dalej wystarczy wyliczyć delte ale to już chyba każdy potrafi na tym poziomie..