Question

Proszę na jutro!! :(

Dla danego ciągu geometrycznego (an) wyznacz a1 oraz iloraz q. Określ monotonicznosc tego ciagu.

a) an=2*3n

b)an=(1/5)n

c) an=-100*(0,1)n

d)an=1/3*(-3)n

e) an=-4*2n

f) an=(-1)n/2n

Answer 1

Ciag geom jest rosnacy gdy a₁>0 i q>1 lub
a₁<0 i q∈(0,1)

ciag geom jest malejacy gdy a₁<0 i q>1 lub
a₁>0 i q∈(0,1)
ciag staly gdy q=1 lub
a₁=0

a) an=2*3n=6n
a₁=6*1=6
a₂=6*2=12
q=a₂/a₁
q=12/6=2
a₁>0 i q>1 c. rosnacy
b)an=(1/5)n
a₁=1/5
a₂=1/5*2=2/5
q=2/5:1/5=2/5*5/1=2
a₁>0 i q>1 c. rosnacy
c) an=-100*(0,1)n=10n
a₁=10
a₂=20
q=20:10=2
a₁>0 i q>1 c. rosnacy
d)an=1/3*(-3)n=-n
a₁=-1
a₂=-2
q=-2/(-1)=2
a₁<0 i q>1 c.malejacy
e) an=-4*2n=-8n
a₁=-8
a₂=-16
q=-16/(-8)=2
a₁<0 i q>1 c.malejacy

f) an=(-1)n/2n =-1/2
a₁=-1/2
a₂=-1/2
q=(-1/2):(-1/2)=1
ciag staly

Answer 2

A) an=2*3n
a₁=2*3*1=6
a₂=2*3*2=12
a₃=2*3*3=18
a₄=2*3*4=24
.............
Jak widać ciąg ten jest rosnący. Ciąg ten nie jest ciągiem geometrycznym bo iloraz q powinien być wszędzie taki sam a mamy np a₄/a₃=24/18=12/9=4/3; a₃/a₂=18/12=9/6=3/2, a₂/a₁=12/6=6. Jest to natomiast ciąg arytmetyczny, którego różnica wynosi 6 bo a₄-a₃=a₃-a₂=a₂-a₁=6

b)an=(1/5)n
a₁=(1/5)*1=(1/5)=0,2
a₂=(1/5)*2=(2/5)=0,4
a₃=(1/5)*3=(3/5)=0,6
a₄=(1/5)*4=(4/5)=0,8
.......................
I tu to samo nie jest to ciąg geometryczny, bo a₄/a₃=0,8/0,6=8/6=4/3, a₃/a₂=0,6/0,4=6/4=3/2, a₂/a₁=0,4/0,2=4/2=2. Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy równej 0,2 bo a₄-a₃=a₃-a₂=a₂-a₁=0,2. Ciąg ten jest rosnący.

c) an=-100*(0,1)n=-10n
a₁=-10*1=-10
a₂=-10*2=-20
a₃=-10*3=-30
a₄=-10*4=-40
...............
I tu to samo nie jest to ciąg geometryczny, bo a₄/a₃=-40/0-30=3/4, a₃/a₂=-30/-20=3/2, a₂/a₁=-20/-10=2. Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy równej (-10) bo a₄-a₃=a₃-a₂=a₂-a₁=-10. Ciąg ten jest malejący.


d)an=1/3*(-3)n=-n
a₁=-1
a₂=-2
a₃=-3
a₄=-4
........
I tu to samo nie jest to ciąg geometryczny, bo a₄/a₃=-4/-3=4/3, a₃/a₂=-3/-2=3/2, a₂/a₁=-2/-1=2. Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy równej (-1) bo a₄-a₃=a₃-a₂=a₂-a₁=-1. Ciąg ten jest malejący.

e) an=-4*2n=-8n
a₁=-8*1=-8
a₂=-8*2=-16
a₃=-8*3=-24
a₄=-8*4=-32
........
I tu to samo nie jest to ciąg geometryczny, bo a₄/a₃=-32/-24=4/3, a₃/a₂=-24/-16=3/2, a₂/a₁=-16/-8=2. Jest to ciąg arytmetyczny o różnicy równej (-8) bo a₄-a₃=a₃-a₂=a₂-a₁=-8. Ciąg ten jest malejący.

f) an=(-1)n/2n =-1/2
Jest to ciąg stały przyjmujący dla każdego n naturalnego wartość -1/2, czyli
a₁=-1/2
a₂=-1/2
a₃=-1/2
a₄=-1/2
........