Question

Dla jakich wartosci m rozwiazaniem ukladu rownan z niewiadomymi x i y: 2x-3y=-1/2m-5
x+y=m
jest para liczb rzeczywistych (x,y) takich, ze jedna z nich jest tangesem, a druga cotangesem tego samego kata ostrego?

Answer 1

2x-3y=-1/2m-5
x+y=m
x=tga
y=ctga
korzystamy z metody wyznacznikow
W=|2 -3|=2+3=5
----|1 1|
Wx=|-1/2m-5 -3|=-1/2m-5+3m=2,5m-5
-----|m ''''''''''''''''''''''''1|
Wy=|2 -1/2m-5|=2m+1/2m+5=2,5m+5
-----|1 m|
x=Wx/W=(2,5m-5)/5=0,5m-1
y=Wy/W=(2,5m+5)/5=0,5m+1
x=1/y
0,5m-1=1/(0,5m+1)
0,25m^2-1=1
0,25m^2=2
m^2=8
m=2√2 V m=-2√2

Answer 2

2x - 3y = - ½m - 5
x + y = m |* 3

2x - 3y = - ½m - 5
3x + 3y = 3m

5x = 2½m - 5
5x = 5/2m - 5 |: 5
x = ½m - 1

y = m - x
y = m - ½m + 1 = ½m +1

x = ½m - 1
y = ½m + 1

ponieważ x i y są odpowiednio tg i ctg tego samego kąta, to skorzystamy z zależności między tymi funkcjami:

tgα = 1/ctgα

czyli:
x = 1/y

½m - 1 = 1 / (½m + 1)
(½m - 1)(½m + 1) = 1
¼m² - 1 - 1 = 0
¼m² - 2 = 0 |*4
m² - 8 = 0
m² = 8
m = ± √8
m = ± 2√2

m₁= 2√2
m₂= - 2√2