Question

Wzynacz wzór funkcji kwadratowej, wiedząc, że ma ona jedno miejsce zerowe i do jej wykresu należą punkty A=(1,2) i B=(4,1/2).

Proszę o dokładne rozwiązanie, krok po kroku.

Answer 1

Jeśli ma jedno miejsce zerowe, można zapisac jej wzór w taki sposób:
y=a(x-b)²
podstawiamy i otrzymujemy:
2=a(1-b)²
i
1/2=a(4-b)²
rozwiazujemy układrównań
2=a(1-2b+b²)
1/2=a(16-8b+b²)
drugie równanie pomnoże przez 4
2=4a(16-8b+b²)
wiadomo, że 2=2, co można zapisac:
a(1-2b+b²)=4a(16-8b+b²) skracamy a, bo a=/=0
1-2b+b²=64-32b+4b²
3b²-30b+63=0
delta=900-4*3*63=144=12²
b1=(30+12)/6=7
b2=(30-12)/6=3

podstawiamy do wzoru 2=a(1-2b+b²) i mamy
dla b=7
2=a(1-14+49)
a=2/36
a=1/18
oraz dla b=3
2=a(1-6+9)
a=2/4
a=1/2

podstawiamy a i b do pierwszego wzoru i otrzymujemy dwie odpowiedzi:
y=1/18(x-7)² oraz y=1/2(x-3)²

jeśli masz jakieś wątpliwości napisz mi wiadomość, na pewno wytłumaczę.

Answer 2

Wzynacz wzór funkcji kwadratowej, wiedząc, że ma ona jedno miejsce zerowe i do jej wykresu należą punkty A=(1,2) i B=(4,1/2).

y=ax²+bx+c

Δ=0→b²-4ac=0
a+b+c=2
16a+4b+c=1/2

Δ=0→b²-4ac=0
c=2-b-a
32a+8b+2c=1

Δ=0→b²-4ac=0
c=2-b-a
32a+8b+4-2b-2a=1

b²-4ac=0
c=2-b-a
30a+6b+3=0/:3

b²-4ac=0
c=2-b-a
10a+2b+1=0 →b=-5a-1/2

b²-4ac=0
c=2+1/2+5a-a=2i1/2 +4a=5/2+4a
b=-1/2-5a

(-1/2-5a)²-4a(5/2 +4a)=0
1/4+5a+25a²-10a-16a²=0
9a²-5a+1/4=0
Δ=25-4*9*1/4=16
a₁=(-b-√Δ)/2a=(5-4)/18=1/18
a₁=(-b+√Δ)/2a=(5+4)/18=1/2

b=-1/2-5a=-1/2-1/18=-10/18=-5/9
a₁=1/18
c=5/2+4*1/18=5/2+2/9=45/18+4/9=49/18


lub

b=-1/2-5a=-1/2-1/2=-1
a₁=1/18
c=5/2+4*1/2=5/2+2=4,5

y=1/18x²-5/9x+49/18 lub y=1/2x²-1x+4,5

Answer 3

Wzynacz wzór funkcji kwadratowej, wiedząc, że ma ona jedno miejsce zerowe i do jej wykresu należą punkty A=(1,2) i B=(4,1/2).

Proszę o dokładne rozwiązanie, krok po kroku.

jeśli ma jedno miejsce zerowe to musi miec postać y=a(x-x1)²

teraz wstawiam współrzędne punktów i rozwiążę układ równań z niewiadomymi x1 i a

2=a(1-x1)²
1/2=a(4-x1)²

dzielimy obustronnie
2/ 0,5=a(1-x1)²/a(4-x1)² [ a się skraca]
4=(1-x1)²/(4-x1)²
4(4-x1)²=(1-x1)²
4(16-8x1+x1²)=1-2x1+x1²
64 - 32x1 + 4x1²=1-2x1+x1²
3x1²-30x1+63=0 /:3
x1²-10x1+21=0
Δ=100-84=16
√Δ=4
x1=(10-4)/2=3
lub x1=(10+4)/2=7
wtedy
2=a(1-3)² lub 2=a(1-7)²
2=4a lub 2=36a
a=1/2 lub a=1/18

mamy 2 takie funkcje:

y=1/2 (x-3)²
lub
y=1/18 (x-7)²