Si me ayudan con esto les beso hasta el alma
La magnitud del campo eléctrico a lo largo de un anillo de radio R, en un punto O que está a una distancia d del centro es (Ke.d.Q)/(d2+R2)3/2 , donde Q es la carga total distribuida en el perímetro del anillo. Para distancias d>>R, El campo eléctrico tiende a ser:
La magnitud del campo eléctrico a lo largo de un anillo de radio R, en un punto O que está a una distancia d del centro es (Ke.d.Q)/(d2+R2)3/2 , donde Q es la carga total distribuida en el perímetro del anillo. Para distancias d>>R, El campo eléctrico tiende a ser:
Explicación:
En esta página se calcula el campo eléctrico y el potencial producido por un anillo uniformemente cargado en un punto de su eje de simetría. Aplicaremos el resultado obtenido para calcular el campo y potencial producido por un disco de radio R , uniformemente cargado y finalmente, el campo producido por un plano indefinido, cuando el radio del disco se hace muy grande.
Sin embargo, el campo y el potencial en un punto fuera del eje del anillo requiere el cálculo de integrales elípticas completas de primera y segunda especie.
El anillo de radio a contiene una carga q uniformemente distribuida en su longitud.
Potencial producido por el anillo en un punto z de su eje de simetría
La carga dista r del punto P, luego el potencial es
Campo eléctrico producido por el anillo en un punto de su eje de simetría
El campo producido por el elemento de carga dq en el punto P vale
Por simetría, los componentes de dicho campo perpendiculares al eje de simetría correspondientes a dos elementos de carga diametralmente opuestos se anulan de dos.
El campo total es paralelo al eje Z de simetría y vale
El campo también se puede obtener a partir del potencial
Disco uniformemente cargado
Consideremos un disco de radio R , uniformemente cargado con una densidad de carga σ C / m 2
El campo dE producido por un anillo de radio a y de anchura da , que contiene una carga dq = σ · 2π a · da es
El campo total producido por el disco cargado es la suma de los campos producidos por todos los anillos que forman el disco.
Para un plano indefinido cargado R → ∞
El mismo resultado se obtiene aplicando la ley de Gauss.
Potencial producido por el anillo cargado en un punto fuera del eje
Calculamos el potencial en el punto P del plano XZ produce por un elemento diferencial de carga dq = λ · dl , donde λ = q / (2π a ) es la densidad lineal de carga en C / m, dl = a · dθ es la longitud de un arco diferencial,
El vector r ' = a · cos θ i + a · sen θ j señala la posición del elemento diferencial de carga
El vector r = x i + z k señala la posición del punto P
El potencial en el punto P vale
donde | r-r ' | es la distancia entre el elemento diferencial de carga dq y el punto P.
La integral se convierte en
Las tablas de integrales elípticas ( Bueno ) nos da la siguiente equivalencia
K ( m ) es la integral elíptica completa de primera especie
El potencial V en el punto P vale
El valor de K ( m ) se puede consultar en una tabla de integrales elípticas ( Puig Adam )
Campo eléctrico producido por el anillo cargado en el punto fuera del eje
Calculamos el campo eléctrico en el punto P del plano XZ produce por un elemento diferencial de carga dq = λ · dl , donde λ = q / (2π a ) es la densidad lineal de carga en C / m, dl = a · dθ es la longitud de un arco diferencial,
El vector r ' = a · cos θ i + a · sen θ j señala la posición del elemento diferencial de carga
El vector r = x i + z k señala la posición del punto P
El campo eléctrico producido por el elemento diferencial de carga dE tiene la dirección y el sentido del vector diferencia r-r ' , que une la posición de la carga y el punto P.
Las componentes del campo total son:
Por simetría, el componente y el campo debe anularse, como puede comprobarse fácilmente resolviendo la integral inmediata.
Como cos θ es una función par podemos hacer la sustitución
El resultado es
Las tablas de integrales elípticas ( Good ) nos da las siguientes equivalencias
Las expresiones de las componentes del campo son, ahora,
En la figura, se muestra la dirección del campo eléctrico mediante flechas, en el plano XZ, con x > 0 y z > 0. El módulo del campo no se puede mostrar ya que cambia significativamente de un punto cercano al a otro algo más alejado. El radio del anillo es a = 1.0
Caso particular
Estudiamos el campo a lo largo del eje del anillo, x → 0,
Las integrales elípticas requieren ambas a K (0) = E (0) = π / 2
Como podemos comprobar fácilmente E x → 0, fijarse que los dos últimos términos entre paréntesis se cancelan y E x en el límite, resultante proporcional a x . En cuanto a la componente Z.
Resultado que hemos obtenido previamente .
Actividades
Se introduce
La abscisa ( x / a ) del punto P, actuando en la barra de desplazamiento titulada Abscisa
La ordenada ( z / a ) del punto P, actuando en la barra de desplazamiento titulada Ordenada
Se pulsa en el botón titulado Calcular
El programa interactivo calcula los componentes E x y E z del campo, su módulo y el ángulo que forma con el eje X.
Las componentes del campo E x y E z se expresan en términos de ( x / a ) y ( z / a ) de la siguiente forma
El campo en un punto del eje Z se expresa en términos de ( z / a )
El programa interactivo calcula el valor de E x y de E y proporcionales a la constante