Question

Wykaż, że liczba jest wymierna:

[1 / (√2 +1)²] + (√2 + 1)²

to w nawiasie kwadratowym jest ułamkiem.
ukosnik oznacza kreskę ułamkową, to co po ukosniku jest pod kreską ułamkową :)

Answer 1

Wykorzystamy wzór skróconego mnożenia:
(a+b)²=a²+b²+2ab

[1 / (√2 +1)²] + (√2 + 1)²
=[1/(√2)²+1²+(2*√2*1)]+(√2)²+1²+(2*√2*1)
=[1/(2+1+2√2)]+2+1+2√2
=[1/(3+2√2)]+3+2√2

Teraz trzeba coś zrobić z ułamkiem [1/(3+2√2)]. Użyjemy do tego wzoru

(a+b)*(a-b)=a²-b²

[1*(3-2√2)/(3+2√2)(3-2√2)]
=[3-2√2/3²-(2√2)²]
=[3-2√2/9-8]
=[3-2√2/1]
=3-2√2

Wróćmy do wzoru: [1/(3+2√2)]+3+2√2
Skoro wiemy, że: [1/(3+2√2)]=3-2√2
to nie pozostaje nam nic innego jak z tego skorzystać:
[1/(3+2√2)]+3+2√2
=3-2√2+3+2√2
=3+3+2√2-2√2
=6

Odpowiedź.Rozwiązaniem jest liczba 6, która jest liczbą wymierną.
__________________________________________________
Liczę na status najlepszego rozwiązania.

Answer 2

A ja krócej. Zaczynamy od rozszerzenia ułamka i pozbycia się niewymierności z mianownika.

[1/(√2 +1)²] + (√2 + 1)² = [(√2 -1)²/{(√2 +1)²(√2 -1)²}] + (√2 + 1)² = [(√2 -1)²/{(√2 +1)(√2 -1)}²] + (√2 + 1)² = [(√2 -1)²/{(2 - 1)}²] + (√2 + 1)² = [(√2 -1)²/1] + (√2 + 1)² = (√2 - 1)² + (√2 + 1)² = 2 - 2√2 + 1 + 2 + 2√2 + 1 = 6

6 jest liczbą wymierną