Question

1.Sprawdź czy ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym.
a) an=
b)an=
c)an= (n-3)

2.A) Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Oblicz obwód tego trójkąta.
b) Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz długości przyprostokątnych, jeżeli przeciwprostokątna ma długość 10.

3.Oblicz trzy początkowe wyrazy ciągu (an ). Sprawdź czy jest to ciąg arytmetyczny.
a)an= -1
b)an=

4.Sprawdź czy a3-a2=a2-a1
Oblicz a4 i uzadadnij że cia (an) nie jest arytmetyczny.
a)an= - 6 +11n

5.
a)Miary kątów trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Najmniejszy z tych kątów ma 40°. Oblicz miary pozostałych kątów tego trójkąta.
b)Miary katow czworokata sa kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego. najwiekszy z tych katow ma 135 stopni. oblicz miary pozostalych katow tego czworokata

Answer 1

1.Sprawdź czy ciąg (an) jest ciągiem arytmetycznym.ciag jest arytmet., gdy roznica a(n+1)-an jest stała[ czyli n się zredukowało]
a) an=
a(n+1)-an=[( n+1-1) /(n+1+1)] -[ (n-1) /( n+1)]=
[ n/ ( n+2) ] - [ ( n-1) /(n+1)]=
[n²+n-(n-1)(n+2)] /(n²+n+2n+2)=
(n²+n-n²-2n+n+2) /(n²+3n+2)=2/(n²+3n+2)  NIE JEST

b)an=
a(n+1)-an=[(√5(n+1) +1]/2  - [(√5n/2 +1/2)]=
(√5n+√5+1)/2 -√5n/2-1/2=
√5n/2+√5/2 +1/2 -√5n/2-1/2=√5/2  JEST

c)an= (n-3)
a(n+1)-an=1/2(n+1-3)-[1/2(n-3)]=
1/2n-1-1/2n+3/2=1/2 JEST

2.A) Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy 3. Oblicz obwód tego trójkąta.
a,b,c= boki
b=a+3
c=b+3=a+6
a²+b²=c²
a²+(a+3)²=(a+6)²
a²+a²+6a+9-a²-12a-36=0
a²-6a-27=0
Δ=36+108=144           √Δ=12
a1=[6-12]/2=liczba ujemna= sprzeczne
a=[6+12]/2=9
b=9+3=12
c=12+3=15
obwód=9+12+15=36

b) Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz długości przyprostokątnych, jeżeli przeciwprostokątna ma długość 10.
a,b,c=dł. boków
c=10
b=a+r
c=a+2r
a+2r=10                a=10-2r
a²+b²=10²
(10-2r)²+(10-2r+r)²=100
100-40r+4r²+100-20r+r²=100
5r²-60r+100=0    /;5
r²-12r+20=0
Δ=144-80=64
r1=[12-8]/2=2            a=10-2*2=6
r2=[12+8]/2=10= sprzeczne bo c= 10
a=6
b=6+2=8  = dł. przyprostokatnych


3.Oblicz trzy początkowe wyrazy ciągu (an ). Sprawdź czy jest to ciąg arytmetyczny.
a)an= -1
a1=1²-1=0
a2=2²-1=3
a3=3²-1=8
nie jest arytm. bo a3-a2≠a2-a1
8-3≠3-0
5≠3

b)an=
a1=3^ 0=1
a2=3^1=3
a3=3²=9
nie jest bo 9-3≠3-1
6≠2

4.Sprawdź czy a3-a2=a2-a1
Oblicz a4 i uzadadnij że cia (an) nie jest arytmetyczny.
a)an= - 6 +11n
a1=1³-6*1²+11*1=1-6+11=6
a2=2³-6*2²+11*2=8-24+22=6
a3=3³-6*3²+11*3=27-54+33=6
a4=4³-6*4²+11*4=64-96+44=12
a3-a2=a2-a1 bo
6-6=6-6
0=0
ale ciag nie jest arytm, bo a4-a3≠0
12-6≠0
6≠0

5.
a)Miary kątów trójkąta są kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego. Najmniejszy z tych kątów ma 40°. Oblicz miary pozostałych kątów tego trójkąta.
a,b,c, = miary katów
a=40*
b=40+r
c=40+2r
40+40+r+40+2r=180*
3r=180-120
r=60/3=20
kąty mają;
40*          40+20=60*              60+20=80*

b)Miary katow czworokata sa kolejnymi wyrazami ciagu arytmetycznego. najwiekszy z tych katow ma 135 stopni. oblicz miary pozostalych katow tego czworokata
a,b,c,d= miary katów
d=135
b=a+r
c=a+2r
d=a+3r=135                    a=135-3r
b=135-3r+r=135-2r
c=135-3r+2r=135-r
a+b+c+d=360
135-3r+135-2r+135-r+135=360
540-360=6r
r=180/6=30*
katy;
a=135-3*30=45*
b=135-2*30=75*
c=135-30=105*
d=135*