1.Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma 72 cm^2 , a jego wysokość wynosi 2 cm . Oblicz mia.... Question from @Spokojnaanka

December 2018 1 14 Report

1.Objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego ma 72 cm^2 ,
a jego wysokość wynosi 2 cm .
Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy oraz pole powierzchni całkowitej .

irenas A- krawędź podstawy
H=2cm - wysokość ostrosłupa
V- objętość ostrosłupa

Pole podstawy:
$V=\frac{1}{3}P_pH\\\frac{1}{3}P_p\cdot2=72\\P_p=108cm^2$

$P_p=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}\\\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=108\\a^2\sqrt{3}=432\\3a^2=432\sqrt{3}\\a^2=144\sqrt{3}\\a=12\sqrt[4]{3}cm$

r- promień okręgu wpisanego w podstawę ostrosłupa
$r=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}\\r=\frac{12\sqrt[4]{3}\cdot\sqrt{3}}{6}=2\sqrt[4]{3\cdot9}=2\sqrt[4]{27}cm$

$\alpha$ - kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy
$tg\alpha=\frac{H}{r}\\tg\alpha=\frac{2}{2\sqrt[4]{27}}=\frac{\sqrt[4]{3}}{3}\approx0,4387\\\alpha\approx23^036'$

h- wysokość ściany bocznej
$h^2=H^2+r^2\\h^2=2^2+(2\sqrt[4]{27})^2=4+4\sqrt{27}=4+12\sqrt{3}=4(1+3\sqrt{3})\\h=2\sqrt{1+3\sqrt{3}}cm$

Pole bocznej powierzchni:
$P_b=3\cdot\frac{1}{2}ah\\P_b=3\cdot\frac{1}{2}\cdot12\sqrt[4]{3}\cdot2\sqrt{1+3\sqrt{3}}=\\=36\sqrt[4]{3(1+3\sqrt{3})^2}=36\sqrt[4]{(\sqrt{3}+9)^2}=\\=36\sqrt{9+\sqrt{3}}cm^2$

Pole całkowitej powierzchni:
$P_c=108+36\sqrt{9+\sqrt{3}}=36(3+\sqrt{9+\sqrt{3}})cm^2$

3 votes Thanks 2