Question

1.Dłuższa przekątna rombu ma dł 12 cm i tworzy z jednym z boków kąt 30 stopni. Oblicz obwód i pole rombu. 2.Pole prostokąta , w którym jeden z boków jest trzy razy dłuższy od drugiego ,wynosi 48cm2.Oblicz kąt między przekątnymi prostokąta. 3.W koło o promieniu r=20 wpisano trójkąt równoboczny o boku a. O ile procent pole trójkąta jest mniejsze od pola koła?

Answer 1

zad1

dluzsza przekatna rombu x=12cm to ½x=6cm

krotsza przekatna y=?

kat 30°

pole P=?

obwod O=?

----------------------------

z wlasnosci katow ostrych wynika ze:

a√3=6cm

a=6/√3=2√3cm=½y ⇒y=4√3cm 

2a=2·2√3=4√3=bok rombu

zatem:

Pole rombu:P=½xy=½·12·4√3=24√3cm²

obwod :O=4·4√3=14√3cm

 

zad2

bok jeden prostokata =x

bok drugi=3x

pole =48cm²

czyli:48=x·3x

       48=3x² /:3

          x²=12

            x=√12=2√3cm

czyli 3x=3·2√3=6√3cm

przekatna prostokata d:

z pitagorasa:(6√3)²+(2√3)²=d²

                    108+12=d²

                              d²=120

                               d=√120=2√30cm

kat miedzy przekatnymi mozemy obliczyc korzystajac z wzoru:

P=(d²/2)·(sin)α

48=[(2√30)/2]·(sin)α

48=120/2·(sin)α

48=60(sin)α  /:60

sin(α)=0,8   ⇒ α=54°

 

zad3

w kolo o promieniu R=20 wpisano Δ rownoboczny,czyli ten Δ jest opisany 

zatem:

R=20

R=⅔h=⅔(a√3)/2=(a√3)/3

20=(a√3)/3

a√3=20·3

a=60/√3

a=20√3 to dł. boku Δ

Pole Δ:P₁=[a²√3]:4=[(20√3)²·√3]:4=300√3≈520 [j²]

pole kola:P₂=πR²=π·20²=400π=400·3,14≈1256 [j²]

czyli:P₁/P₂=520/1256=0,41 =41%

czyli:100%-41%=59%

odp:pole trojkata jest mniejsze o 59% od pola kola