Question

1.Drut o długości 40 cm przecięto na dwie części. Z jednej części zrobiono ramkę kwadratową o boku długości x cm, z z drugiej części ramkę prostokątną, której dłuższy bok ma długość 6 cm.
a)napisz wzór funkcji opisującej sumę pól figur geometrycznych wyznaczonych przez te ramki w cm kwadratowych w zależności od x. Podaj wzór funkcji w najprostszej postaci i wyznacz dziedzinę
b) uzasadnij, że najmniejsza wartość sumy pól figur geometrycznych wyznaczonych przez te ramki wynosi 48 cm2

2.Prosta o równaniu y=-ax+a ma z wykresem funkcji kwadratowej f(x)=-0,5xkwadrat+0,5 tylko jeden punkt wspólny s. Wyznacz wartość parametru a oraz współrzędne punktu s.

Answer 1

1
a)
bok kwadratu = x
dłuższy bok prostokata = 6
krótszy bok prostokąta = (40 - 4x - 2*6)/2 = (28 - 4x)/2 = 14 - 2x
funkcja na sumę pół:
f(x) = x² + (14-2x)*6 = x² - 12x + 84

Dziedzina:
x >0
14 - 2x>0 → → 14 > 2x /:2 → → 7>x
zatem x∈(0,7)

b) Liczymy pochodną funkcji f i przyrównujemy do 0
f'(x) = 2x - 12 = 0
2x = 12 /:2
x = 6

wstawiamy do wzoru na sumę pól:
f(6) = 6² - 12*6 + 84 = 48

2
-ax + a = -0,5x² + 0,5
0,5x² - ax + a - 0,5 = 0
Δ = a² - 4*0,5*(a-0,5)
Δ = a² -2a + 1
Ma mieć tylko jedno miejsce wspólne więc Δ =0
Δ = a² -2a + 1 = 0
Δ₂ = 4 - 4 = 0
a = 2/2 = 1

-0,5x² - x +1 - 0,5 = -0,5x² - x +0,5 = 0
Δ =0
x = 1/ 1 = 1
y = -1*1 +1 = 0
s = (1,0)