Question

Sprawdź, czy prawdziwa jest następująca tożsamość, podaj konieczne założenia.

sin2α/(1+cos2α)===tgα

Proszę o pomoc:)))

Answer 1

Sprawdź, czy prawdziwa jest następująca tożsamość, podaj konieczne założenia.

sin2α/(1+cos2α)===tgα

2sinα*cosα/1+2cos²α-1=tgα
2sinα*cosα/2cos²α=tgα
sinα/cosα=tgα

prawdziwa

zał:1+cos2α≠0
i cosα≠0
α≠π/2 +kπ, k∈C

Answer 2

Korzystamy z wzorów:
sin2α =2 sinα cosα
cos2α = cos²α - sin²α
zatem
[sin2α]/[1 +cos2α] = [2sinα cosα] / [1 + cos²α - sin²α] =
= ]2 sinα cosα ] / [cos²α + cos²α] = [2 sinα cosα] / [2 cos²α ] =
= sin α/ cos α = tg α
Założenie :
k - liczba całkowita
2α ≠k* 180⁰ czyli α ≠ k* 90⁰

Answer 3

Mamy uzasadnić tożsamość:
lewa strona L= sin2α/(1+cos2α), prawa strona P = tgα
Mianownik ułamka nie jest zerem, więc
Założenie
1+ cos2α ≠ 0 {cos2α = cos²α - sin²α = 2cos²α - 1}
1+ 2cos²α - 1 ≠ 0
2cos²α ≠ 0
cosα ≠ 0, α≠ π/2 + kπ {k∈C}
L= sin2α/(1+cos2α) = (2sinαcosα)/(1+ 2cos²α - 1)=
{bo sin2α = 2sinαcosα, cos2α = 2cos²α - 1}
= (2sinαcosα)/(2cos²α)= sinα/cosα = tgα = P
{skracamy przez 2cosα ≠ 0}
Tożsamość sin2α/(1+cos2α)= tgα jest prawdziwa dla kątów
α≠ π/2 + kπ {k∈C}.