Na świadectwie Oli znalazło się dwanaście ocen przy czym każda ocena to "trójka" lub "czwórka" Ile c.... Question from @wiola777

September 2018 1 208 Report

Na świadectwie Oli znalazło się dwanaście ocen przy czym każda ocena to "trójka" lub "czwórka" Ile czórek otrzymała na koniec roku szkolnego Ola jeżeli wariancja jej ocen wynosi 3/16?

Proszę o wytłumaczenie.

Roma

Średnia arytmetyczna n liczb a₁, a₂, a₃, ..., an jest równa:

$\overline{a}= \frac{a_1 +a_2 + a_3+ ... + a_n}{n}$

Wariancją n danych liczbowych a₁, a₂, a₃, ..., an o średniej arytmetycznej $\overline{a}$ jest liczba:

$\sigma^2 =\frac{(a_1 - \overline{a})^2 +(a_2 - \overline{a})^2 + (a_3 - \overline{a})^2 + ... + (a_n - \overline{a})^2}{n}$

x - ilość "czwórek" na świadectwie

y - ilość "trójek" na świadectwie

x + y = 12 ⇒ y = 12 - x

$\sigma^2 =\frac{3}{16}$

Obliczmy średnią ocen Oli na świadectwie:

$\overline{a}= \frac{x \cdot 4 + y \cdot 3}{12} = \frac{4x + (12 -x) \cdot 3}{12} = \frac{4x + 36-3x}{12} = \frac{x + 36}{12} = \frac{x}{12} +\frac{36}{12} =$

$=\frac{x}{12} +3$

Skorzystamy ze wzoru na wariancję:

$\frac{x \cdot [4 - (\frac{x}{12} +3)]^2 +y \cdot [3 - (\frac{x}{12} +3)]^2 }{12} = \frac{3}{16}$

$\frac{x \cdot (4 - \frac{x}{12} -3)^2 + (12 -x) \cdot (3 - \frac{x}{12} -3)^2 }{12} = \frac{3}{16}$

$\frac{x \cdot (1 - \frac{x}{12})^2 + (12 -x) \cdot (- \frac{x}{12})^2 }{12} = \frac{3}{16} \ / \cdot 12$

$x \cdot (1 - \frac{x}{12})^2 + (12 -x) \cdot (- \frac{x}{12})^2 = \frac{9}{4}$

$x \cdot (1 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{x}{12} + \frac{x^2}{144})+ (12 -x) \cdot \frac{x^2}{144} = \frac{9}{4}$

$x \cdot (1 - \frac{x}{6} + \frac{x^2}{144})+ \frac{x^2}{12} - \frac{x^3}{144} = \frac{9}{4}$

$x - \frac{x^2}{6} + \frac{x^3}{144}+ \frac{x^2}{12} - \frac{x^3}{144} = \frac{9}{4}$

$x - \frac{x^2}{6} + \frac{x^2}{12} = \frac{9}{4} \ / \cdot 12$

$12x - 2x^2 + x^2 = 27$

$- x^2+12x - 27 = 0$

$\Delta = 12^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-27) = 144 - 108 = 36; \ \sqrt{\Delta} = 6$

$x_1 = \frac{-12 - 6}{2 \cdot (-1)} = \frac{-18}{-2} = 9$

$x_1 = \frac{-12 + 6}{2 \cdot (-1)} = \frac{-6}{-2} = 3$

Zatem Ola na świadectwie miała 9 "czwórek" i 3 "trójki" (12 - 9 = 3) lub miała 3 "czwórki" i 9 "trójek" (12 - 3 = 9).

Sprawdzimy uzyskane wyniki:

9 "czwórek" i 3 "trójki"

Średnia ocen wynosi:

$\frac{9 \cdot 4 + 3 \cdot 3}{12} = \frac{36+9}{12} = \frac{45}{12} = \frac{15}{4}$

Wariancja wynosi:

$\sigma^2 = \frac{9 \cdot (4 - \frac{15}{4})^2 +3 \cdot (3 - \frac{15}{4})^2 }{12} = \frac{9 \cdot (\frac{16}{4} - \frac{15}{4})^2 +3 \cdot (\frac{12}{4} - \frac{15}{4})^2 }{12} =$

$= \frac{9 \cdot (\frac{1}{4})^2 +3 \cdot (- \frac{3}{4})^2}{12} = \frac{9 \cdot \frac{1}{16} +3 \cdot \frac{9}{16}}{12} = \frac{\frac{9}{16} +\frac{27}{16}}{12} = \frac{\frac{36}{16}}{12} =\frac{36}{16} \ : \ 12 = \frac{36}{16} \cdot \frac{1}{12} = \frac{3}{16}$

3 "czwórki" i 9 "trójek"

Średnia ocen wynosi:

$\frac{3\cdot 4 + 9 \cdot 3}{12} = \frac{12+27}{12} = \frac{39}{12} = \frac{13}{4}$

Wariancja wynosi:

$\sigma^2 = \frac{3 \cdot (4 - \frac{13}{4})^2 +9 \cdot (3 - \frac{13}{4})^2 }{12} = \frac{3 \cdot (\frac{16}{4} - \frac{13}{4})^2 +9 \cdot (\frac{12}{4} - \frac{13}{4})^2 }{12} =$

$= \frac{3 \cdot (\frac{3}{4})^2 +9 \cdot (- \frac{1}{4})^2 }{12} = \frac{3 \cdot \frac{9}{16} +9 \cdot \frac{1}{16}}{12} = \frac{\frac{27}{16} +\frac{9}{16}}{12} = \frac{\frac{36}{16}}{12} = \frac{36}{16} \ : \ 12 = \frac{36}{16} \cdot \frac{1}{12} = \frac{3}{16}$