Wiedząc ,że alfa jest kątem rozwartym oraz sin alfa + cos alfa = 7/13 ,oblicz:a) sin alfa * cosalfab.... Question from @Diamond95

Diamond95 @Diamond95

October 2018 1 4K Report

Wiedząc ,że alfa jest kątem rozwartym oraz sin alfa + cos alfa = 7/13 ,oblicz:

a) sin alfa * cosalfa

b) sin alfa - cos alfa

c) sin alfa,cos alfa

d) tg alfa +ctg alfa

Bardzo proszę o pomoc ,daje naj :D

Chociaż jeden przykład , bo nie mam pojęcia jak to rozwiązać

Roma

α - kąt rozwarty

Zatem drugie ramię kąta α leży w II ćwiartce układu współrzędnych, a w tej ćwiartce tylko wartości funkcji sin α jest dodatnia, a wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych (cos α, tg α i ctg α) są ujemne.

$sin \alpha + cos \alpha = \frac{7}{13} \ /^2 \\\\ (sin \alpha + cos \alpha)^2 = (\frac{7}{13})^2 \\\\ sin^2 \alpha + 2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha + cos^2 \alpha = \frac{49}{169} \\\\ \underbrace{sin^2 \alpha + cos^2 \alpha}_{sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1}+ 2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha = \frac{49}{169} \\\\ 1 + 2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha = \frac{49}{169} \\\\ 2 \cdot sin \alpha \cdot cos \alpha = \frac{49}{169} -1$

$> b)<img src=$

$x_1 = \sqrt{ \frac{289}{169}} = \frac{17}{13} \\\\ x_2 = -\sqrt{ \frac{289}{169}} = -\frac{17}{13}$

x₂ < 0 - odrzucamy, bo sin α w II ćwiartce jest dodatnie, a cos α jest ujmene, wiec różnica sin α - cos α będzie dodatnia. Zatem:

$x = \frac{17}{13} \\\ x = sin \alpha - cos \alpha \\\ Zatem:\\\ sin \alpha - cos \alpha = \frac{17}{13}$

$sin \alpha + cos \alpha = \frac{7}{13} \ => \ cos \alpha = \frac{7}{13} - sin \alpha \\\ sin^2 \alpha + cos^2 \alpha = 1 \\\\ Zatem:\\\ sin^2 \alpha + (\frac{7}{13} - sin \alpha)^2 \alpha = 1 \\\\ sin^2 \alpha + \frac{49}{169} - \frac{14}{13} \cdot sin \alpha + sin^2 \alpha -1 =0 \\\\ 2sin^2 \alpha - \frac{14}{13} \cdot sin \alpha - \frac{120}{169} =0 \ / \cdot 169 \\\\ 338sin^2 \alpha - 182 \cdot sin \alpha -120 =0 \ /:2 \\\\ 169sin^2 \alpha - 91 \cdot sin \alpha -60 =0$

$x = sin \alpha \ \wedge \ x > 0 \\\ Zatem: \\\ 169x^2 - 91x-60 =0 \\\ \Delta = (-91)^2 - 4 \cdot 169 \cdot (-60) = 8281 + 40560 = 48841 \\\ \sqrt{\Delta} = \sqrt{48841} = 221 \\\\ x_1 = \frac{91-221}{2 \cdot 169} = \frac{-130}{338} = -\frac{5}{13} < 0 \\\\ x_2 = \frac{91+221}{2 \cdot 169} = \frac{312}{338} = \frac{12}{13} > 0 \\\\ Zatem: \ x = \frac{12}{13} \ => \ sin \alpha = \frac{12}{13}$

Stąd:

$cos \alpha = \frac{7}{13} - sin \alpha \\\\ cos \alpha = \frac{7}{13} - \frac{12}{13} \\\\ cos \alpha = -\frac{5}{13}$

Zatem:

$sin \alpha = \frac{12}{13} \ \wedge \ cos \alpha = -\frac{5}{13}$

$tg \alpha = \frac{sin \alpha}{cos \alpha} \ \wedge \ ctg \alpha = \frac{1}{tg \alpha} \\\ oraz \\\ sin \alpha = \frac{12}{13} \ \wedge \ cos \alpha = -\frac{5}{13}$

Stąd:

$tg \alpha = \frac{12}{13} \ : \ ( -\frac{5}{13}) = \frac{12}{13} \cdot (-\frac{13}{5}) = -\frac{12}{5} \\\\ ctg \alpha = \frac{1}{-\frac{12}{5}} = -\frac{5}{12}$

Zatem:

$tg \alpha = -\frac{12}{5} \ \wedge \ ctg \alpha = -\frac{5}{12}$

69 votes Thanks 133

Ajmaboss Podpunkt c) można zrobić bez użycia delty. Wystarczy stronami dodać sin alfa - cos alfa = 17/13 oraz sin alfa + cos alfa = 7/13 (obliczony w podpunkcie b). Wtedy otrzymujemy 2sin alfa = 24/13 czyli sin alfa = 12/13. Aby otrzymać cos alfa te same równania należy odjąć stronami i wtedy mamy -2cos alfa = 10/13 czyli cos alfa = - 5/13. Zadanie jest ze zbioru zadań dla klas I liceum i technikum, więc mam nadzieje, że pomogłem jakiemuś pierwszakowi.

Roma To prawda, ale jakby ktoś miał do zrobienia tylko przykład c) to musiałby najpierw tę różnicę obliczyć tak jak w punkcie b) więc lepiej to zrobić tak jak napisałam:)