Question

Prosta k: y= -3x+8 przecina okrąg o środku w punkcie (1,0) i promieniu 5 w punktach
A i B. Oblicz długość cięciwy AB.



6.67/123 matematyka 2

Answer 1

Odpowiedź:

k :   y = -  3 x + 8

( x - 1)² + y² = 5²

---------------------------

( x - 1)² + ( -3 x + 8)² = 25

x² -2 x + 1 + 9 x² - 48 x +64 =25

10 x² - 50 x + 40 = 0  / : 10

x² - 5 x + 4 = 0

( x - 1)*( x - 4) = 0

x - 1 = 0        lub        x - 4 = 0

x = 1              lub        x = 4

y = - 3*1 + 8 = 5     lub   y = - 3*4 + 8 = - 4

A = ( 1,  5 )         B = ( 4, - 4)

więc

I AB I² = ( 4 - 1)² + ( - 4 - 5 )² = 3² + ( - 9 )² = 9 + 81 = 90

I AB I = [tex]\sqrt{9*10} = 3\sqrt{10}[/tex]

======================

Szczegółowe wyjaśnienie:

Answer 2

Dane okręgu;

• S(1;0)
• r=5

Równanie okręgu:

[tex](x-1)^2+(y-0)^2=5^2\\\\(x-1)^2+y^2=25\\[/tex]

[tex]y=-3x+8\\\\(x-1)^2+(-3x+8)^2=25\\\\x^2-2x+1+9x^2-48x+64-25=0\\\\10x^2-50x+40=0\\\\x^2-5x+4=0\\\\\Delta=9\rightarrow\sqrt\Delta=3\\\\x_1=\frac{5-3}{2}\ \vee \ x_2=\frac{5+3}{2}\\\\x_1=1\ \vee \ x_2=4\\[/tex]

[tex]y_1=-3*1+8\\\\y_1=5\\\\y_2=-3*4+8\\\\y_2=-4\\\\\\A(1;5) \ \ , \ \ B(4;-4)\\[/tex]

[tex]|AB|=\sqrt{(4-1)^2+(-4-5)^2}\\\\|AB|=\sqrt{9+81}\\\\|AB|=\sqrt{90}=3\sqrt{10}\\[/tex]