Question

STEREOMETRIA!
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy a i objętości równej a³√3/12. Oblicz cosinus kąta, który z podstawą ostrosłupa tworzy: a) krawędź boczna, b) wysokość ściany bocznej.

Answer 1

Kraw,podstawy=a
wysokosc ostrosłupa=H
V=a³√3/12
V=1/3Pp·H
Pp=a²√3/4

a³√3/12=1/3·a²√3/4 ·H 
a³√3=a²√3/12 ·H      /·12
a³√3=a²√3 ·H   /:a²√3
a=H
czyli wysokosc ostroslupa rowna sie dlugosci krawedzi podstawy 
wysokosc w podstawie to wysokosc Δ rownobocznego h=a√3/2
a)
2/3h=2/3·a√3/2=a√3/3
z pitagorasa
(a√3/3)²+H²=b²
3a²/9+a²=b²
1/3 a²+a²=b²
4/3 a²=b²
b=a√(4/3)=2a/√3 --->krawedz boczna ostroslupa
cosα=(2/3h)/b=(a√3/3)/(2a/√3)=√3/3 ·√3/2=√9/6=3/6=1/2 
b)1/3h=1/3·a√3/2=a√3/6
z pitagorasa
(a√3/6)+H²=hs²
3a²/36+a²=hs²
a²/12+a²=hs²
13/12 a²=hs²
hs=a√(13/12)=a√13/2√3---->wysokosc sciany bocznej 
cosβ=(1/3h)/hs=a√3/6 :a√13/2√3=√3/6·2√3/√13=2√9/6√13=6/6√13=
1/√13=√13/13