Question

1. Wykaż, że:

a). jeśli przekątne prostokąta są dwusiecznymi jego kątów, to prostokąt jest kwadratem,

b). jeśli przekątne rombu są równej długości, to romb jest kwadratem.

Answer 1

a)  kąt prostokąta ma miarę 90 stopni więc dwusieczna dzieli kąt na 45 stopni.

Przekątne przecinają się w połowie. Zrób rysunek pomocniczy i zauważ że w tym przypadku  dwusieczne dzielą prostokąt na 4 trójkąty przystające (cecha k.b.k. kąt 90, połowa dwusiecznej, kąt 45).

Tak więc masz prostokąt z 4 takimi samymi bokami czyli kwadrat

b)Przekątne rąbu dzielą się na połowy i pod kątem prostym. Z założenia przekątne są równe więc masz 4 trójkąty równoboczne z kątem prostym. Katy przy podstawie tych trójkątów wynoszą 45, Po zsumowaniu kątów przy wierzchołku rąbu masz 90 stopni więc jest to kwadrat