Question

1. Wykaż, że:
a) Suma Czterech Kolejnych Liczb Całkowitych Parzystych Jest Podzielna Przez 4.
b) Iloczyn Dwóch Kolejnych Liczb Całkowitych Jest Podzielna Przez 2.
c) Suma Trzech Kolejnych Liczb Całkowitych Jest Podzielna Przez 3.
d) Suma Czterech Kolejnych Liczb Całkowitych Nieparzystych Jest Podzielna Przez 8.

2. Wykaż, że:
a) Suma Kwadratów Dwóch Kolejnych Licz Calkowitych Nieparzystych Jest Liczbą Parzystą.
b) Róznica Kawdratów Dwóch Kolejnych Liczb Całkowitych Nieparzystych Jest Podzielna Przez 8.
c) Różnica kwadratów Dwóch Kolejnych Liczb Całkowitych Jest Liczba Nieparzystą.

Answer 1

1. Wykaż, że:
a) Suma Czterech Kolejnych Liczb Całkowitych Parzystych Jest Podzielna Przez 4.
2x+2x+2+2x+4+2x+6=8x+12=4(2x+3), czyli Podzielna Przez 4
b) Iloczyn Dwóch Kolejnych Liczb Całkowitych Jest Podzielna Przez 2.
x(x+1) jeat Podzielna Przez 2.ponieważ wśród tych dwóch liczb jedna jest parzysta, a druga nieparzysta, a więc parzysta dzieli się pzrzez 2.
c) Suma Trzech Kolejnych Liczb Całkowitych Jest Podzielna Przez 3.
x+x+1+x+2=3x+3=3(x+1), czyli Podzielna Przez 3.
d) Suma Czterech Kolejnych Liczb Całkowitych Nieparzystych Jest Podzielna Przez 8.
2x+1+2x+3+2x+5+2x+7=8x+16=8(x+2), czyli Jest Podzielna Przez 8.

2. Wykaż, że:
a) Suma Kwadratów Dwóch Kolejnych Licz Calkowitych Nieparzystych Jest Liczbą Parzystą.
(2x+1)²+(2x+3)²=4x²+4x+1+4x²+12x+9=8x²+16x+10=2(4x²+8x+5)Jest Liczbą Parzystą., bo dzieli się przez dwa
b) Róznica Kawdratów Dwóch Kolejnych Liczb Całkowitych Nieparzystych Jest Podzielna Przez 8.
((2x+1)²-(2x+3)²=4x²+4x+1-4x²-12x-9=-8x-8=8(-x-1)Jest Podzielna Przez 8.
c) Różnica kwadratów Dwóch Kolejnych Liczb Całkowitych Jest Liczba Nieparzystą.
(x)²-(x+1)²=x²-x²-2x-1=-2x-1 Jest Liczba Nieparzystą.

Answer 2

1. Wykaż, że:
a) Suma Czterech Kolejnych Liczb Całkowitych Parzystych Jest Podzielna Przez 4.

2n - liczba parzysta
2n + 2n + 2 + 2n + 4 + 2n + 6 = 8n + 12 = 4(2n + 3)

b) Iloczyn Dwóch Kolejnych Liczb Całkowitych Jest Podzielna Przez 2.

n(n + 1) dwie kolejne liczby całkowite, jedna na pewno jest wielokrotnością 2, więc ich iloczyn jest podzielny przez 2

c) Suma Trzech Kolejnych Liczb Całkowitych Jest Podzielna Przez 3.

n + n + 1 + n + 2 = 3n + 3 = 3(n +1)

d) Suma Czterech Kolejnych Liczb Całkowitych Nieparzystych Jest Podzielna Przez 8.

2n + 1 - liczba nieparzysta
2n + 1 + 2n + 3 + 2n + 5 + 2n + 7 = 8n + 16 = 8(n + 2)

2. Wykaż, że:
a) Suma Kwadratów Dwóch Kolejnych Licz Calkowitych Nieparzystych Jest Liczbą Parzystą.

2n + 1 - liczba nieparzysta
(2n + 1)² + (2n + 3)² = 4n² + 4n + 1 + 4n² + 12n + 9 = 8n² + 16n + 10 = 2(4n² + 8n + 5)

b) Róznica Kawdratów Dwóch Kolejnych Liczb Całkowitych Nieparzystych Jest Podzielna Przez 8.

2n + 1 - liczba nieparzysta
(2n + 3)² - (2n + 1)² = (2n + 1 + 2n + 3)(2n + 3 - 2n - 1) = (4n + 4)2 = 8(n + 1)

c) Różnica kwadratów Dwóch Kolejnych Liczb Całkowitych Jest Liczba Nieparzystą.

(n + 1)² - n² = (n + n + 1)(n - n + 1) = 2n + 1