1) W jakim stosunku należy podzielic wysokośc trójkąta prostą równoległą do podstawy aby powstały tr.... Question from @Carlin

October 2018 1 6 Report

1) W jakim stosunku należy podzielic wysokośc trójkąta prostą równoległą do podstawy aby powstały trójkąt miał pole 3 razy mniejsze niż wyjściowy ? Odpowiedz uzasadnij.

2) Jaki jest związek między długościami boków a promieniem okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ? Odpowiedz uzasadnij.

Proszę o szybką odpowiedz.

irenas

a, b- przyprostokątne

c- przeciwprostokątna

r- promień okręgu wpisanego w ten trójkąt

$a+b=c+2r$

Narysuj trójkąt ABC, w którym C to wierzchołek kąta prostego, |AB|=c, |AC|=b, |BC|=a.

Niech O- środek okręgu wpisanego w ten trójkąt.

K, L, M- punkty styczności tego okręgu z bokami odpowiednio AC, AB, BC.

Czworokąt CKOM to kwadrat (prostokąt, w którym |MC|=|KC|- odcinki stycznych).

Stąd:

$|CK|=|KO|=|OM|=|MC|=r$

Z równości odcinków stycznych mamy też:

$|MB|=|LB|=p\\|AK|=|AL|=t$

Czyli:

$a=r+p\\b=r+t\\c=p+t$

$a+b=r+p+r+t=(p+t)+2r=c+2r$

Narysuj trójkąt ABC oraz wysokość CD.

Poprowadź odcinek KL równoległy do boku AB tak, żeby K leżał na AC i L leżał na BC.

P= punkt wspólny CD i KL.

Trójkąty KLC i ABC są podobne (cecha (kkk)).

s- skala podobieństwa

$s=\frac{|CP|}{|CD|}\\\frac{P_{KLC}}{P_{ABC}}=s^2=\frac{1}{3}\\s=\frac{\sqrt{3}}{3}\\|CP|=\frac{\sqrt{3}}{3}|CD|\\|PD|=|CD|-\frac{\sqrt{3}}{3}|CD|=\frac{3-\sqrt{3}}{3}|CD|$

$\frac{|CP|}{|PD|}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}}=\\=\frac{\sqrt{3}(3+\sqrt{3})}{9-3}=\frac{3\sqrt{3}+3}{6}=\frac{\sqrt{3}+1}{2}$