Question

1. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 6 cm. Przekątna graniastosłupa ma długość 12 cm. Oblicz pole powierzchnicałkowitej i objętość graniastosłup.
2. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego krawędź podstawy długości 9 cm tworzy z przekątną ściany bocznej kąt 60 stopni.
3. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 8 cm krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
4. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni. Krawędź podstawy ma długość 6 pierwiastków z 3 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa

Answer 1

1. W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość 6 cm. Przekątna graniastosłupa ma długość 12 cm. Oblicz poledł. krawedzi podstawy=6cm
Pp=a²=6²=36
D=przekatna bryły=12cm
d=przekatna podstawy=a√2=6√2
h=wysokosc bryły= z pitagorasa: √[D²-d²]=√[12²-(6√2)²]=√[144-72]=√72=6√2
Pb=4ah=4*6*6√2=144√2
Pc=2*36+144√2=72(1+2√2)cm²
v=Pph=36*6√2=216√2cm³
2. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego, którego krawędź podstawy długości 9 cm tworzy z przekątną ściany bocznej kąt 60 stopni.
a=9cm
Pp=a²√3/4=9²√3/4=81√3/4
jestes w gimnazjum, wiec korzystam z własnosci kata 60,30 i 90 w trójkacie prostokatnym
czyli przekatna sciany= 2a=2*9=18cm , zas wysokosc h= a√3=9√3cm
v=81√3/4*9√3=2187/4=546,75cm³
Pb=3ah=3*9*9√3=243√3
Pc=2*81√3/4+243√3=283,5√3cm²
lub tak;
tg60=h/a
√3=h/9
h=9√3

3. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym o krawędzi podstawy 8 cm krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.
a=8cm
Pp=a²=8²=64
d=przekatna podstawy=a√2=8√2
1/2d=4√2
c=dł. krawedzi bocznej
 z własnosci kata 60 wynika,ze c=2*4√2=8√2, zaś h=4√2√3=4√6
lub :
tg60=h/1/2d
√3=h/4√2
h=4√6
v=1/3Pph=1/3*64*4√6=256√6/3  cm³
k=wysokosc sciany
1/2a=4
k=√[c²-(1/2a)²]=√[(8√2)²-4²]=√112=4√7
Pb=4*1/2ak=2*8*4√7=64√7
Pc=64(1+√7)cm²

4. W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej tworzy z płaszczyzną podstawy kąt 60 stopni. Krawędź podstawy ma długość 6 pierwiastków z 3 cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa
a=6√3
Pp=a²√3/4=(6√3)²√3/4=27√3
h=wysokosc podstawy=a√3/2=6√3√3/2=9
1/3h=3cm
H=wysokosc bryły
z własnosci kata 60 wynika, ze :
k=2*1/3h=2*3=6cm
lub cos 60=1/3h/k
1/2=3/k
k=6
H=√[6²-3²]=√27=3√3
v=1/3*27√3*3√3=81cm³
Pb=3*1/2ak=1,5*6√3*6=54√3
Pc=27√3+54√3=81√3cm²