1. Sprowadz do postaci kanonicznej...zdjęcie wyżej z zadaniamiz góry dziękuję ❤.... Question from @manai39

manai39 @manai39

April 2022 1 10 Report

1. Sprowadz do postaci kanonicznej...
zdjęcie wyżej z zadaniami
z góry dziękuję ❤

0AB

Odpowiedź

1a.

$- 2 \left(x - \dfrac 1 4\right)^{\!2} + \dfrac 9 8$

1b.

$\left(x + \dfrac 1 2\right)^{\!2} - \dfrac {25} 4$

2a. Postać podana w zadaniu jest już postacią kanoniczną

$(x + 2)^2 - 5$ .

Natomiast postacią ogólną jest

$x^2 + 4x - 1$ .

2b. Postać kanoniczna

$-\left(x - \dfrac 7 2 \right)^{\!2} + \dfrac {57} 4$ .

Postać ogólna

$-x^2 + 7x + 2$ .

3. Postać ogólna

$3x^2 - 8x + 4$ ,

postać iloczynowa

$3 \left(x - \dfrac 2 3 \right) (x - 2)$ ,

postać kanoniczna

$3 \left(x - \dfrac 4 3\right)^{\!2} - \dfrac 4 3$ .

4. Postać kanoniczna

$\left(x + \dfrac 3 2 \right)^{\!2} - \dfrac {49} 4$ ,

postać iloczynowa

$(x + 5) (x - 2)$ .

4a. Wierzchołek paraboli ma współrzędne

$\left( -\, \dfrac 3 2\,, \: - \,\dfrac {49} 4 \right)$

4b. Funkcja jest dodatnia dla $x < -5$ oraz $2 < x$ .

Szczegółowe wyjaśnienie

Jeżeli dana jest funkcja kwadratowa

$y=ax^2 + bx + c$

gdzie

$a \neq 0$ ,

to jej postacią kanoniczną jest

$y =a\left(x-p\right)^2 + q$

przy oznaczeniach

$\Delta = b^2 - 4ac\\\\\\p = \: - \: \dfrac b {\: 2a \:}\\\\\\q = \: - \: \dfrac {\Delta} {\: 4a \:}$ .

Wierzchołkiem paraboli

$y =a\left(x-p\right)^2 + q$

jest punkt W o współrzędnych (p, q) .

1a.

$\displaystyle y = -2x^2 + x + 1 = - 2 \left(x - \dfrac 1 4\right)^{\!2} + \dfrac 9 8\\\\\Delta = 1^2 - 4 \cdot (-2) \cdot 1 = 9$

1b.

$y = (x + 3)(x - 2) = \left(x + \dfrac 1 2\right)^{\!2} - \dfrac {25} 4\\\\\Delta = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25$

2a.

$y = (x + 2)^2 - 5 = x^2 + 4x - 1\\\\\\\Delta = 16 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 20$

2b.

$y = 3 - (x - 1)^2 + 5x = -x^2 + 7x + 2 = -\left(x - \dfrac 7 2 \right)^{\!2} + \dfrac {57} 4\\\\\Delta = 7^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 2 = 57$

$y = 3x^2 - 8x + 4 = (3 x - 2) (x - 2) = 3 \left(x - \dfrac 2 3 \right) (x - 2) = 3 \left(x - \dfrac 4 3\right)^{\!2} - \dfrac 4 3\\\\\Delta = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 16\\\\\\x_1 = \dfrac {-(-8) - \sqrt{16}} {2 \cdot 3} = \dfrac 2 3\\\\\\x_2 = \dfrac {-(-8) + \sqrt{16}} {2 \cdot 3} = 2$

$y = x^2 + 3x - 10 = (x + 5) (x - 2) = \left(x + \dfrac 3 2 \right)^{\!2} - \dfrac {49} 4\\\\\Delta = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 49\\\\\\x_1 = \dfrac {-3 - \sqrt{49}} {2 \cdot 1} = -5\\\\\\x_2 = \dfrac {-3 + \sqrt{49}} {2 \cdot 1} = 2$