1. Okres drgań ciężarka zawieszonego na sprężynie wynosi T=4s, amplituda A= 6cm, a faza początkowa jest równa zeru. Oblicz prędkość V1 w chwili, gdy wychylenie ciężarka z położenia równowagi wynosi x1=3cm
2. Na desce wykonującej drgania harmoniczne w kierunku pionowym o czestotliwosci v= 2HZ i amplitudzie A=4cm leży ciężarek. OBLICZ MASĘ CIĘŻARKA, JEŻELI WIADOMO, ŻE MAKSYMALNA SIŁA jaką wywiera ciężarek na deske wyosi 20 N.
Ruch harmoniczny jest to ruch w którym droga X (wychylenie) oipsana jest:
X = A * sin(w * t)
A - amplituda (makzymalne wychylenie ; w - pulsacja
w = 2 * Pi * f = 2*Pi/T
f -czestotliwość ; okres
prędkość chwilowa w ruchu harmonicznym ( jak zresztą w kazdym ruchu) to pochodna drogi (wychylenie) po czasie
V = dX/dt = A * w * cos(w*t)
przyspieszenie chwilowe to pochodna prędkości po czasie
a = dV/dt = -A * w * w * sin(w * t)
siła w ruchu harmonicznym zgodnie z II prawem Newtona
F = m * a = - m * A * w * w * sin(w * t)
zad. 1
Podstawiając dane T = 4 ; A = 6
X = 6 * sin(2*PI/4 * t) = 6 * sin(PI/2 * t)
dla czasu t1 = ? X = X1 =3
3 = 6 * sin(PI/2 * t)
sin(PI/2 * t) = 1/2
PI/2 * t = Pi/6 (30 stopni)
t1 = 1/3 s
obliczamy V=V1 po czasie 1/3 s
V = A * w * cos(w*t)
V1 = 6 * 2*Pi/4 * cos [(2*Pi/4)*(1/3)] = 3 * Pi * cos (2*Pi/12)
V1 = 3 * Pi * cos (Pi/6) = 3 * Pi * pierwiastek(3)/2 (kalkulator)
Zad.2
F = - m * A * w * w * sin(w * t)
Maksymalna siła w ruchu harmonicznym występuje dla
sin(w * t) = 1 lub sin(w * t) = -1 są to dwa maksymalne wychylenia, znak zmienia się z uwagi na fakt, że siła jest wartością wektorową.
Maksymalna siła jaką ciężarek wywiera na deskę jest sumą maksymalnej siły harmonicznej i ciężaru ciężarka
Fmax = m*g + m * A * w * w
dane : f = 2 ; A = 0,04 m (SI) ; Fmax = 20 N
m*g + m * A * w * w = Fmax
m*(g + A * w * w) = Fmax
m = Fmax/(g + A * w * w)
m = Fmax/(g + A * 4*Pi*Pi*f*f) ; g = 10 m/(s*s) - dla ułatwienia
m = 20/(10 + 0,04*4*Pi*Pi*2*2) = 20/(10 + 0,64*Pi*Pi) - kalkulator