Question

1. Misalkan a dan b adalah bilangan real yang memenuhi a² + b² ≤ 1. Tentukan peluang grafik f(x) = ax² - 2bx - a memotong grafik g(x) = 2x² setidaknya satu titik. ​

Answer 1

Verified answer

Penjelasan dengan langkah-langkah:

Untuk memotong grafik g(x) = 2x², kita perlu mencari nilai x yang membuat f(x) = ax² - 2bx - a = 2x². Dengan memfaktorkan persamaan ini, kita dapatkan:

ax² - 2bx - a - 2x² = 0

(x² - 2b/a x - 1) a = 0

Untuk nilai x tertentu, persamaan di atas harus bernilai 0. Oleh karena itu, kita perlu mencari kapan persamaan di atas memiliki akar riil. Akar-akar persamaan kuadrat x² - 2bx/a - 1 = 0 diberikan oleh:

x1,2 = (2b/a ± √(4b²/a² + 4a))/2

= (b ± √(b² + a²))/a

Grafik f(x) akan memotong grafik g(x) jika dan hanya jika persamaan x² - 2bx/a - 1 = 0 memiliki akar riil. Oleh karena itu, kita perlu mencari ketika a dan b memenuhi a² + b² ≤ 1 dan |b| < |a|, sehingga akar-akar persamaan tersebut adalah bilangan real.

Kita dapat mengamati bahwa ketika a² + b² = 1, maka akar-akar persamaan tersebut selalu bilangan kompleks konjugat. Oleh karena itu, kita perlu mempertimbangkan kasus ketika a² + b² < 1.

Jika a² + b² < 1, maka grafik f(x) akan memotong grafik g(x) jika dan hanya jika akar-akar persamaan x² - 2bx/a - 1 = 0 adalah bilangan real. Kita dapatkan:

b² + a² > b² > |b|² > b² - a² > 0

Jadi, peluang grafik f(x) = ax² - 2bx - a memotong grafik g(x) = 2x² setidaknya satu titik adalah:

P = Luas lingkaran dengan jari-jari √(1 - a²) dan pusat di (0, 0) / Luas lingkaran dengan jari-jari 1

= π(1 - a²) / π

= 1 - a²

Jadi, peluang grafik f(x) = ax² - 2bx - a memotong grafik g(x) = 2x² setidaknya satu titik adalah 1 - a².