Question

1. Mając a=0,5 , x1=1, x2=-3 przedstaw funkcje kwadratową we wszystkich postaciach.
2. Dana jest funkcja y=x2-bx+c Wyznacz parametry b i c, jeśli:
a) f(2)=1 oraz f(3)=4
b) f(2)=3 oraz miejsce zerowe to 1.
c) x1=2 oraz x2=-1
d) funkcja przechodzi przez punkty A(1,1) oraz B(-2,3)
e) do wykresu funkcji należą punkty A(2,-3) oraz B(2,0)

3. Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale:
a) y=x2-x+6 <2,3>
b) y=(x+2)(x-2) <0,1>
c) y=x2-x+6 <4,5>
d)y=(x+2)2-1 <-2,2>
e) y=x2-5x+7 <0,5>

Answer 1

1)  a=1/2       x 1=1        x 2=-3

   y=a(x-x 1)(x-x 2)      postac iloczynowa

   y=1/2(x-1) (x+3)        postac  iloczynowa

 

y=1/2(x²+3x-x-3)

y=1/2 x²+x-3/2         postac ogolna

 

Δ=1-4·1/2·(-3/2)

Δ=1+3=4

p=-b/2a

p=-1:1=-1

q=-Δ/4a

q=-4/2=-2

y=a(x-p)²+q    postac kanoniczna

y=1/2(x+1)²-2       postac kanoniczna

==============================================

2)   a)     f(2)=1          f(3)=4

y=x²-bx+c

{1=4-2b+c

{4=9-3b+c 

 

{-3=-2b+c

{-5=-3b+c       /·(-1)

 

{-3=-2b+c

{5=3b-c          rownania dodajemy stronami

-----------------

b=2

 

-3=-4+c

c=1                       {b=2

                             {c=1

===========================================

b)     f(2)=3       m o=1

miejsce zerowe, to argument, ktoremu przyporzadkowano wartosc 0, czyli   (1;0)

y=x²-bx+c

 

{3=4-2b+c

{0=1-b+c 

 

{-1=-2b+c

{-1=-b+c      /·(-1)

 

{-1=-2b+c

{1=b-c

----------------------

-b=0

b=0

 

-1=-b+c

c=-1                {b=0

                        {c=-1

=================================================

c)    y=x²=bx+c

      a=1,     x 1=2,         x 2=-1

y=(x-2)(x+1)

y=x²+x-2x-2

y=x²-x-2 

{b=1

{c=-2

=================================================

d)   y=x²-bx+c       A(1;1)               B(-2;3)

    {  1=1-b+c

     {3=4+2b+c 

 

   { -b+c=0

{2b+c=-1           /·(-1)

 

{-b+c=0

{-2b-c=1 

------------------

-3b=1 

{b=-1/3                 1/3+c=0            {c=-1/3

========================================

e)    y=x²-bx+c      A(2;-3)        B(2;0)

{-3=4-2b+c 

{0=4-2b+c         /·(-1)

 

{-7=-2b+c 

{4=2b-c 

------------------------

-3=0  uklad sprzeczny

nie dobierzemy tak wartosci b i c, by parabola przechodzila przez punkt A i B 

========================================================

 

 

3) a)    y=x²-x+6         <2;3>

          f(2)=4-2+6=8     wartosc najmniejsza

f(3)=9-3+6=12         wartosc najwieksza

Δ=1-24=-23

p=-b/2a

p=1/2  ∉    <2;3> 

==========================================

b)    y=(x+2)(x-2)            <0;1>

        y=x²-4

f(0)=-4  wartosc najmniejsza

f(1)=-3     wartosc najwieksza

p=-b/2a

p=0∈<0;1> 

=========================================

 

c) y=x²-x+6        <4;5>

f(4)=16-4+6=18   wartosc najmniejsza

f(5)=25-5+6=26   wartosc najwieksza

p=-b/2a

p=1/2∉<4;5> 

====================================================

d)  y=(x+2)²-1            <-2;2>

f(-2)=-1           wartosc najmniejsza

f(2)=16-1=15   wartosc najwieksza

    p=-2∈<-2;2> 

===================================================

e)    y=x²-5x+7          <0;5>

f(0)=7

f(5)=25-25+7=7        wartosc najwieksza

p=-b/2a

p=5/2=2,5 ∈<0;5>

Δ=25-28=-3

q=-Δ/4a

q=3/4            wartosc najmniejsza 

========================================================

duzo tego