Question

1. Liczby m i p przy dzieleniu przez 4 dają reszty 2 i 3. Wyznacz resztę z dzielenia przez 4 sumy kwadratów tych liczb.

2. Resztami z dzielenia liczb całkowitych a, b i c przez 5 są odpowiednio liczby 1, 2 i 3. Wyznacz resztę z dzielenia sumy kwadratów liczb a, b i c przez liczbę 5.

Answer 1

1.
m=4x+2
p=4y+3
m^2+p^2=(4x+2)^2+(4y+3)^2=
=16x^2+16x+4+16y^2+24y+9=
=16x^2+16y^2+16x+24y+13=           
4(4x^2+4y^2+4x+6y) +13
k=4x^2+4y^2+4x+6y    podzielne przez 4
13:4=3 +1 reszty . reszta wynosi 1
--------
wystarczy policzyć reszty do kwadratu, ale wolałam policzyć całość, dla jasności
2^2+3^2=4+9=13
13:4=3 +1 reszty
2.
a=5x+1
b=5y+2
c=5z+3
(5x+1)^2+(5y+2)^2+(5z+3)^2=
=25x^2+10x+1+25y^2+20y+4+25z^2+30z+9=
=25x^2+25y^2+25z^2+10x+20y+30z+14=
=5(5x^2+5y^2+5z^2+2x+4y+6z)+14
14:5=2 +4 reszty
---------
j/w
1^2+2^2+3^2=1+4+9=14
14:5=2 +4 reszty