Question

1. Liczba naturalna m daje przy dzieleniu przez 4 resztę r, a liczba natriralna n daje przy dzieleniu przez 4 resztę s i m > n. Oblicz resztę, którą dają przy dzieleniu przez 4 liczba m-n gdy:
1. r=2 s=1
2. r=2 s=2
3. r=0 s=1
4. r=1 s=3


2. Liczba naturalna m daje przy dzieleniu przez 3 resztę r, a liczba natriralna n daje przy dzieleniu przez 3 resztę s. Oblicz resztę, którą dają przy dzieleniu przez 3 liczby:
a) m+n
b)m*n
r=2 s=2
( m=3k+2 n=3l+2)


3. Liczba naturalna m daje przy dzieleniu przez 4 resztę r, a liczba natriralna n daje przy dzieleniu przez 4 resztę s. Oblicz resztę, którą dają przy dzieleniu przez 4 liczby:
a) m+n
b)m*n

r=3 s=1

Answer 1

1)  m = 4k +r,      n = 4p+s
     m - n = 4k+r -(4p+s) = 4k +r -4p -s = 4(k -p) +r -s
     reszta = r - s
       1.  r=2, s=1,  r-s = 2-1 = 1
       2.  r=2, s = 2, r-s = 2-2 = 0
       3.  r=0,  s= 1, r-s = 0-1 = -1  reszta nie może być ujemna
       4. r=1, s=3 ,  r-s = 1 -3 = -2                    "
2)  m=3k +r          k, p  - liczby naturalne
     n = 3p +s
   a)  m +  n = 3k +r +3p +s = 3(k+p) +r +s
           reszta = r +s
         r=2, s=2,    r+s = 2+2 = 4
   b) m*n = (3k +r)(3p +s) = 9kp + 3ks + 3pr + rs = 3(3kp +ks +pr) + rs
           reszta = rs
         r=2,  s=2,  r*s = 2*2 = 4
3) m= 4k+r
     n = 4p +s
   a)  m = n = 4k +r +4p +s = 4(k +p) +r +s
           reszta = r +s
         r=3,  s=1,    r+s = 3 +1 = 4
   b)  m*n = (4k+r)(4p+s) = (4k +3)(4p +1) = 16pk +4k +12p +3 = 4(4pk +k +3p) + 3
           reszta = 3.