1. Dana kule mozna wpisac w pewien graniastoslup prawidlowy trojkątny oraz w pewien graniastoslup pr.... Question from @AdamSm

January 2019 1 130 Report

1. Dana kule mozna wpisac w pewien graniastoslup prawidlowy trojkątny oraz w pewien graniastoslup prawidlowy czworokatny. Uzasadnij że stosunek objetosci tych graniastoslupów jest rowny 3 pierwiastki z 3 podzielić na 4.

ghe W załącznikach są rzuty tych brył widziany z góry

Wysokość tych brył to średnica kuli
R - promień kuli
2R - wysokość graniastosłupów
a - krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
b=2R - krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

Wyznaczam a
Promień okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny
$r=\frac{1}{3}h=\frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt3}{2}=\frac{a\sqrt3}{6}}$

$\frac{a\sqrt3}{6}=R\ / \cdot 6$

$a\sqrt3=6R\ / : \sqrt{3}$

$a= \frac{6R}{\sqrt{3}}$

$a= \frac{6R \sqrt{3} }{3}$

$a=2R \sqrt{3}$

Obliczam objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego
$V_1= \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \cdot h$

$V_1= \frac{(2R \sqrt{3})^2 \sqrt{3}}{4} \cdot 2R$

$V_1= \frac{12R^2 \sqrt{3}}{4} \cdot 2R$

$V_1=6R^3 \sqrt{3}$

Obliczam graniastosłupa prawidłowego czworokątnego
$V_2=b^2 \cdot h$

$V_2=(2R)^2\cdot 2R$

$V_2= 4R^2 \cdot R$

$V_2= 8R^3$

Obliczam stosunek objętości
$\frac{V_1}{V_2}= \frac{6R^3 \sqrt{3}}{8R^3}$

$\frac{V_1}{V_2}= \frac{3\sqrt{3}}{4}$

8 votes Thanks 14